Структуры электроприводов. » Мы с АГНИ

По характеру изменения заданного воздействия

Классификация САУ

Системы автоматической стабилизации – предназначаются для поддержания постоянства регулируемой величины Х (Х – может быть n, U, I, P, а, р_атм, _курса и т.д.).

Системы программного управления — служат для изменения управляемой величины во времени по определенному заранее установленному закону (называемому программой), например система управления температуры закалочной печи.

Следящие системы применяются для поддержания соответствия регулируемой величиной Х и заданным воздействием Х₀ при случайных, заранее неопределенных изменениях Х₀ во времени, например, слежение антенной радиолокатора за движением самолета.

Делятся на системы непрерывного и дискретного действия.

САУ непрерывного действия характеризуется тем, что в них в процессе регулирования все элементы формируют сигнал в виде непрерывных функций времени. Например, система поддержания скорости в системе ЭМУ-Д с ОС.

САУ дискретного действия подразделяются на: импульсные, релейные, цифровые.

а) В САУ импульсного действия (рисунок 4, а) непрерывный сигнал преобразуется (квантуется) в серию импульсов, амплитуда, ширина или число которых в отдельные (дискретные) промежутки времени пропорциональны этому сигналу – амплитудное , широтное и кодоимпульсное преобразование (импульсное регулирование скорости электродвигателя).

Рисунок 4 – Системы дискретного действия

б) САУ релейного действия (рисунок 4, б) называется такая система, среди основных элементов которой содержится хотя бы один релейный. Работа релейного элемента характеризуется тем, что при непрерывном изменении входной величины и достижении его определенного значения, его выходная величина скачкообразно изменяется, например, электромагнитное реле.

в) Цифровые САУ (рисунок 4, в). В этих системах управляющее воздействие представляет последовательность импульсов или ступенчатую функцию. Амплитуды импульсов или высоты ступенек равны фиксированным значениям, ближайшим к произвольным значениям управляющего сигнала в дискретные фиксированные моменты времени.

При регулировании по отклонению: отклонение регулируемой величины от заданного значения через регулятор оказывает воздействие на объект регулирования, направленное на устранение отклонения. При этом совершенно безразлично, по какой причине произошло отклонение регулируемой величины. Например, поддержание скорости в системе Г-Д.

Принципиальная, полная и упрощенная структурные схемы приведены на рисунке 5.

Рисунок 5 – Принципиальная (а), полная (б) и упрощённая (в) структурная схемы системы Г-Д

При регулировании по отклонению влияние возмущающих воздействий (изменение U_СТ, U, U₀, температурное изменение сопротивления) на регулирующую величину Х(п) значительно ослабляется, но не устраняется.

При регулировании по возмущению: измеренное возмущение преобразуется в воздействие, оказываемое на объект регулирования с целью компенсации (предотвращения) влияния данного возмущения на регулируемую величину (рисунок 6). При полной компенсации САУ является инвариантной (независимой) к данному воздействию. Условие инвариантности может реализоваться полностью или с точностью до некоторой малой величины .

Могут ставиться два условия:

1. Устранение статической ошибки (отклонение регулируемой величины от заданной после приложения возмущения в установившемся режиме).

2. Устранение как статической, так и динамической ошибки (в установившемся и в переходном режиме).

Рисунок 6 – Поддержание скорости в системе СМУ-Д с регулированием по возмущению и функциональная схема.

Для ограничения действия данных возмущающих воздействий на САУ применяют комбинированные САУ, в которых регулирование по возмущению сочетается с регулированием по отклонению.

Регулирование по отклонению имеет как достоинства, так и недостатки.

К достоинствам можно отнести:

1. Возможность получения высокой точности поддержания заданного значения регулируемой величины.

2. Схема осуществляет поддержание управляемой величины, не зависимо от причины возникновения отклонения.

К недостаткам – вследствие инерционности реальных элементов САР построение системы по замкнутому циклу способствует возникновению колебаний в такой системе.

К достоинствам регулирования по возмущению относятся:

1. Простота построения схем.

2. В силу самого процесса инвариантности исключаются причины возникновения колебаний в такой системе, (система уподобляется разомкнутой).

А недостатки:

1. Трудно получить высокую точность компенсации возмущения (она не превышает 1 – 2 %), особенно при наличии нелинейных элементов.

2. При наличии нескольких возмущений возникает задача компенсации всех возмущений, что ведет к усложнению схемы.

Линейные и нелинейные системы

Величины, определяющие свойства САУ, называются ее параметрами (L, С, R, К_У, Т и т.д.).

САУ называется линейной, если все ее параметры постоянны.

Нелинейной – если хотя бы один ее параметр зависит от переменных, описывающих поведение системы ( например L= f(i)).

Методы расчета нелинейных САУ:

1. Методы линейного приближения при малых отклонениях (т.е. полагают, что параметры САР остаются постоянными).

2. Специальные методы: фазовых траекторий, точечных преобразований, гармонического баланса – нелинейные особенности характеристик элементов САУ сохраняются.

В зависимости от свойств САУ в установившемся режиме различают статические и астатические системы.

В основе такого деления лежит точность поддержания постоянства регулируемой величины при наличии нагрузки (возмущения).

Статической САУ (системой пропорционального регулирования в области линейной САУ) называется такая система, в которой регулируемая величина определяется остаточным (статистическим) отклонением и зависит от нагрузки.

Ранее приведенный пример: система, построенная по принципу регулирования по отклонению является статической. В системе поддержания скорости Г-Д (рисунок 7) имеем:

Для описания точности поддержания регулируемой величины в статике вводят следующие понятия:

статизм системы , который может быть представлен в виде суммы статизма по заданию S₁ и статизма по нагрузке S₂

.

Для того, чтобы характеризовать непосредственно наклон характеристики вводят понятие статизма характеристики .

Астатической САУ – называется система, которая в установившемся режиме работает без остаточного отклонения. Если в системе имеется одно интегрирующее звено, то астатизм первого порядка.

Регулируемая величина в этой САУ не зависит от нагрузки и, следовательно, статизм характеристики равен 0. При отклонении регулируемой величины от заданного значения, например, вследствие приложенной нагрузки, в системе возникает процесс регулирования, при котором отклонение стремится к нулю, а регулирующее воздействие, пропорциональное интегралу по времени от отклонения – к новому установившемуся значению.

Примером астатической САУ может служить система, показанная на рисунке 8.

Рисунок 8 – Астатическая система

В установившемся режиме , и движок П находится в покое. Например, при увеличении нагрузки – М_С возрастает. Тогда скорость двигателя уменьшается, при этом уменьшается напряжение тахогенератора U_ТГ. Соответственно, возрастает напряжение U₀ – U_ТГ. При этом увеличивается напряжение U_У. Движок потенциометра П перемещается, увеличивая U_В. Возрастает U_Г, что приводит к увеличению скорости двигателя n до тех пор, пока .

Реальная астатическая система не может обеспечить точного поддержания заданной величины. Статическая ошибка здесь определяется величиной зоны нечувствительности и от нагрузки не зависит. В данном примере зона нечувствительности определяется статическим моментом исполнительного двигателя ИД.

Динамика систем регулирования

Под динамикой регулирования понимают исследования с целью решения двух задач:

1. Задача анализа САУ – изучения законов изменения регулируемых величин под воздействием различных возмущений при различных сочетаниях параметров САУ.

2. Задача синтеза САУ – определения структуры и параметров САУ, обеспечивающих заранее заданное качество переходных процессов.

Исходными данными для исследования динамики САУ являются дифференциальные уравнения и структурные схемы, составленные для отдельных элементов САУ на основе тех физических законов, которые определяют процессы в этих элементах. Совокупность дифференциальных или интегрально-дифференциальных уравнений всех элементов системы образует математическое описание САУ в динамике.

В общем случае уравнение, описывающее поведение САУ, является нелинейным. Однако, если поведение САУ в динамике рассматривается при относительно малых по величине отклонениях переменных, то возможно осуществлять линеаризацию дифференциальных уравнений. Такая линеаризация сводится к линеаризации имеющих место нелинейной статической характеристики и нелинейных функций нескольких переменных (двух).

Если решать систему линеаризации дифференциальных уравнений, составленных для каждого элемента САУ относительно какой-либо одной регулируемой величины х(t)=х_ВЫХ(t) по отношению к отклонению

Рисунок 1.1 – Систем АУ х(t)=х_ВХ(t) и к возмущающему воздействию

f (t), то в результате получим дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами следующего вида:

, (1.1)

где ; ; — постоянные коэффициенты.

Уравнение (1.1) носит название общего дифференциального уравнения САУ или уравнения движения САУ.

Применяя к уравнению (1.1) при нулевых начальных условиях преобразование Лапласа, запишем это уравнение в операторной форме:

, (1.2)

где X_ВЫХ(p); Х_ВХ(p) и F(p) – изображения соответственно функций x_ВЫХ(t); х_ВХ(t) и f(t).

Передаточной функцией САУ по задающему воздействию (рисунок 1.2,а) называется отношение операторного изображения выходной величины САУ к операторному изображению входной величины САУ при нулевых начальных условиях, т.е.:

. (1.3)

Соответственно, передаточной функцией САУ по возмущающему воздействию (рисунок 1.2,б) называют отношение операторного изображения выходной величины к операторному изображению возмущающего воздействия при нулевых начальных условиях

. (1.4)

а) б)

Рисунок 1.2 – Передаточные функции

Т.к. при записи уравнений линейной САУ в операторной форме дифференциальные уравнения становятся алгебраическими, то с ними можно оперировать совершенно так же, как с линейными уравнениями для установившегося режима.

Обозначим соответственно

; — полиномы n^-ой и m^-ойстепени от р.

Тогда передаточная функция по задающему воздействию равна (1.5)

где Аⁿ(р)=0 – характеристическое уравнение.

Если известны полюсы р_iи нули q_i функции W(p), соответствующие корням Aⁿ(p=0)и B^т(p)=0, то выражение (1.5) можно записать как

. (1.6)

Предполагается, что полиномы Aⁿ(p) и B^m(p) не имеют общих корней и дробь (1.6) не может быть сокращена.

Найдём переходную функцию при входном единичном ступенчатом воздействии

х_ВХ(t)=1(t) ,тогда Х_ВХ(р)= . (1.7)

Вычислим (1.8)

Перейдём к оригиналу.

, (1.9)

где р_i– корни уравнения G^{n 1}(p)=0.

Здесь предполагается, что функция W(p) не имеет кратных полюсов и что n>m.

Как известно, полное решение общего дифференциального уравнения САУ складывается из двух составляющих:

1. Свободной составляющей, которая находится из решения однородного дифференциального уравнения (характеристического уравнения)

. (1.10)

2. Вынужденной составляющей (частное решение), которая полностью определяется законом изменения во времени внешнего воздействия на САУ.

Удобно рассматривать динамику САУ (рисунок 1.1) или звена САУ при гармоническом изменении входной величины

.

Тогда спустя некоторое время после начала действия X_ВХна выходе системы установятся гармонические колебания той же частоты, что и частота входного воздействия, но имеющие другую амплитуду и фазу, т.е. вынужденную составляющую X_ВЫХ.

Рисунок 1.3 – Входное и выходное значения

Очевидно, что при подаче на вход системы воздействия с той же амплитудой A_ВХ и начальной фазой j_ВХ, но другой частоты на выходе системы амплитуда A_ВЫХ и фаза j_ВЫХ будут иные.

Пример 1.1.

Установившейся ток

в данном случае I_m и j являются функцией w.

Зависимость относительной амплитуды выходной величины от частоты называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) САУ

— АЧХ. (1.11)

Зависимость сдвига фаз между гармоническими колебаниями выходной и входной величины от частоты называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) САУ

— ФЧХ . (1.12)

Рисунок 1.4 – Зависимость АЧХ и ФЧХ от частоты

Совместное изменение амплитуды и фазы выходной величины от частоты можно получить, если представить синусоидальные функции в комплексной форме:

,

. (1.13)

Если взять отношение выходной величины

Х_ВЫХ(jw)

к входной величине

Х_ВХ(jw)

, то получим

. (1.14)

Комплексная функция W(jw) называется комплексным коэффициентом передачи САУ или амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) САУ. Модуль этой функции представляет собой АЧХ, а аргумент – ФЧХ.

В общем случае W(jw) может быть представлен в виде числа

, (1.15)

где P(w) – называется вещественной частотной характеристикой САУ (ВЧХ);

Q(w) – называется мнимой частотной характеристикой САУ (МЧХ).

Между собой ВЧХ, МЧХ и АЧХ, ФЧХ связаны

(1.16)

График называется годографом — год =

АФЧХ тесно связана с передаточной функцией САУ. При синтезе и анализе систем используются частотные методы, для этого к уравнению (1.1) следует применить преобразование Фурье. Для получения АФЧХ расчетным путем необходимо в передаточной функции звена или САУ положить Рисунок 1.5 – АЧХ, ФЧХ и p = jw.

ВЧХ,МЧХ

Пример 1.2.

Для функции , ,

должно быть .

Пусть входная величина изменяется по синусоидальному закону, тогда:

, (1.17)

или в комплексной форме

, (1.18)

тогда

.

(1.19)

Таким образом, действительно АФЧХ получилась из передаточной функции заменой p = jw, в общем случае можно записать:

W(jw) = [W(p)]_{р= jw}. (1.20)

В практических расчетах наряду с использованием АФЧХ широко используются так называемые логарифмические амплитудные фазовые частотные характеристики ЛАФЧХ или просто логарифмические частотные характеристики. При этом различают логарифмические амплитудные частотные характеристики ЛАЧХ и логарифмические фазовые частотные характеристики ЛФЧХ.

ЛАЧХ называют зависимость L(ω)=lgА(ω) от lg (w),

ЛФЧХ называют зависимость j(ω)от lg (w).

При построении ЛЧХ по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе.

Рисунок 1.6 – Ось абсцисс

Интервал частот, кратный 10, называется декадой. Одна дек на чертежах равна 50 мм.

По оси ординат при построении ЛАЧХ откладывается величина L(w) в логарифмическом масштабе. Один лог на чертежах равен 50 мм.

Логарифм может быть разбит на более мелкие единицы

1 лог = 10 дл (децилог) = 20 дб (децибел), таким образом:

Y [дл] = 10 lg k,

Y [дб] = 20 lg k.

По оси ординат при построении ЛФЧХ откладывается величина j(w) в градусах, т.е. полулогарифмический масштаб. На чертежах отрезок 90° равен 45 мм.

Рисунок 1.7 – Ось ординат

Достоинства ЛФЧХ:

1. При использовании ЛЧХ представляется возможным изображать величины, несоизмеримые в равномерном масштабе (например, от 0,01 до 1000).

2. При использовании ЛЧХ операция умножения коэффициентов усилительных звеньев заменяется операцией сложения ординат характеристик этих звеньев.

При использовании логарифмического масштаба нелинейные зависимости превращаются в прямые линии.

Из рассмотрения выражения (1.8) следует, что устойчивость системы зависит от того, в какой области лежат корни p_i.. Для линейных систем определение устойчивости объекта или звена может быть сформулировано более жёстко, чем для общего случая. Линейное звеноявляется устойчивым, если после окончания внешнего воздействия его состояние с течением времени возвратится к исходному.

Единичный импульс может быть рассмотрен как кратковременное воздействие. В таком случае об устойчивости линейного звена можно судить по значению х_ВЫХ(t) при t→∞: звено устойчиво, если

; (1.21)

звено неустойчиво, если

; (1.22)

звено нейтрально, если

. (1.23)

Если х_ВЫХ(t) при t→∞ является периодической функцией времени, т.е.

, (1.24)

где Т – период колебаний, то звено называется консервативным.

Каждому вещественному значению р_iв выражении (1.8) соответствует слагаемое вида

, (1.25)

где

.

Комплексной паре корней характеристического уравнения

p_i=α_i jω_i; p_i=α_i-jω_i

соответствует слагаемое вида

(1.26)

Следует различать три случая расположения корней, когда вещественная часть корня: 1) отрицательна (α_i<0); 2) положительна (α_i>0); 3) равна нулю (α_i=0).

В первом случае корень лежит в левой полуплоскости корней, т.е. левее мнимой оси (см. р₁, р₂, р₃ на рисунке 1.8), во втором случае – в правой полуплоскости, т.е. правее мнимой оси (см. р₄, р₅ ,р₆ на рисунке 1.8); в третьем случае – на мнимой оси (см. р₇, р₈, р₉на рисунке 1.8).

Рисунок 1.8 – Расположение корней характеристического уравнения

В зависимости от расположения корней относительно мнимой оси характер изменения составляющих х_iВЫХ(t) во времени различен. Если α_i>0, то соответствующая составляющая при t→∞ стремится к бесконечности и, следовательно, х_ВЫХ(t)→∞, т.е. звено неустойчиво.

Если α_i<0, то соответствующая составляющая при t→∞ стремится к нулю; следовательно, если все составляющие, число которых конечно, удовлетворяют этому условию, то х_ВЫХ(t)→0, т.е. звено асимптотически устойчиво.

Если α_i=0 при t→∞, то составляющая остаётся конечной и не равна нулю, т.е. звено нейтрально ил консервативно. Оно относится также к устойчивым, но неасимптотическим звеньям.

На рисунке 1.9 для каждого случая расположения корней показаны графики при вещественном корне (а, б, в) и при паре сопряжённых комплексных корней (г, д, е).

а) б) в)

г) д) е)

Рисунок 1.9 – Графики x_iВЫХ при различных корнях р_i

Таким образом, необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости линейного звена является отрицательное значение вещественной части всех полюсов функции W(p), т.е. все полюсы должны лежать в левой полуплоскости р.

Общим показателем свойств звена является принадлежность нулей передаточной функции к левой полуплоскости. Представляя передаточную функцию в форме (1.6), комплексный коэффициент передачи можно выразить как

. (1.27)

Рассмотрим сомножитель числителя jω-q_i. Эта разность представляет собой вектор, начало которого лежит в точке q_i, а конец на мнимой оси в точке jω. Фаза этого вектора характеризует поворот его относительно вещественной оси против часовой стрелки.

На рисунке 1.10 построены два таких вектора для различных положений точки q_i, обозначенных q_i^‘иq_i^». Из построения видно, что при одном и том же значении модуля комплекса jω-q_i его фаза φ меньше в том случае, когда q_i лежит в левой полуплоскости. Поэтому звенья, все нули передаточной функции лежат в левой полуплоскости (Re q_i<0), называются минимально-фазовыми. Звенья, передаточные функции которых имеют хотя бы один нуль, лежащий в правой полуплоскости (Re q_i.>0), называются неминимально-фазовыми.

Рисунок 1.10 – Минимально- и неминимально-фазовые звенья

Для минимально-фазовых устойчивых звеньев между амплитудно-частотной и фазочастотной характеристиками существует однозначная зависимость и, следовательно, амплитудно-частотная характеристика однозначно определяет передаточную функцию системы.

Итак, если известна амплитудно-частотная характеристика звена и известно, что звено устойчивое и минимально-фазовое, то этого достаточно для того, чтобы найти все его частотные характеристики и, следовательно, полностью охарактеризовать поведение системы при любых сигналах, поступающих на вход.

Для минимально-фазовой системы определение приближённого значения фазы φ_i(ω_i) можно проводить непосредственно по среднему наклону ЛАЧХ в частоте ω_iбез построения ЛФЧХ. При этом

(1.28)

Рисунок 1.11 – Определение фазы системы по амплитуде

При этом L_В(ω_i) и L_Н(ω_i) значения ЛАЧХ при частотах, отстоящих от ω_i на одну декаду в сторону увеличения и уменьшения частот соответственно.

Элементарные динамические звенья

Типовые динамические звенья

Характер переходных процессов в САУ зависит от динамических свойств элементов, из которых она состоит. Эти элементы могут быть самыми разнообразными по назначению, конструктивному исполнению, принципу работы и т.д. Однако, независимо от назначения и конструктивного исполнения, все элементы САУ могут быть подразделены на небольшое число звеньев, обладающих определенными динамическими свойствами, т.е. описываемых определенными дифференциальными уравнениями. Такие звенья носят название типовых динамических звеньев.

Различают две группы типовых звеньев: элементарные динамические звенья и реальные типовые динамические звенья, представляющие собой соединения из элементарных звеньев.

1. Элементарные динамические звенья.

1.1 Усилительное (пропорциональное) звено.

1.2 Интегрирующее звено.

1.3 Дифференцирующее звено.

1.4 Звенья чистого запаздывания.

2. Реальные типовые динамические звенья.

2.1 Звенья первого порядка, основными из них являются.

2.1.1 Инерционное звено.

2.1.2 Реальное дифференцирующее (инерционно-дифференцирующее).

2.1.3 Форсирующее звено.

2.1.4 Инерционно-форсирующее (упругое) звено.

2.2 Звенья второго порядка.

2.2.1 Колебательное звено.

2.2.2 Консервативное звено.

Самым простым является звено, выходная величина которого прямо пропорциональна входной величине.

Уравнение такого звена во временной области

x_ВЫХ(t) =k x_ВХ(t),

(2.1)

где k – коэффициент передачи (усиления) звена.

Примерами такого звена являются: делитель напряжения, усилитель постоянного тока, рычажная передача, редукторная передача и др.

Предполагается, что передача сигнала от входа к выходу производится мгновенно без какой-либо инерции. Поэтому пропорциональные звенья называются безынерционными.

Если перейти к операторной форме записи, то на выходе

, (2.2)

Передаточная функция звена

, (2.3)

На структурных схемах изображается так, как показано на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – Изображение усилительного звена

Переходя от коэффициента усиления к переходной функции, получаем

h(t)=x_ВЫХ(t)=k 1(t). (2.4)

Графическое изображение переходной функции усилительного звена показано на рисунке 2.2. Эта функция соответствует идеальному пропорциональному звену.

Рисунок 2.2 – Переходная функция усилительного звена

Комплексный коэффициент передачи

. (2.5)

Годограф комплексного коэффициента передачи W(jω) при 0<ω<∞ имеет вид точки, сдвинутой на расстоянии k от нуля по вещественной оси (рисунок 2.3,а), а зависимости P(ω) и Q(ω) показаны на рисунке 2.3, б.

а) б)

Рисунок 2.3 – Зависимости W(jω), P(ω) и Q(ω)

ЛАЧХ безынерционного звена представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и отстоящую от неё на расстоянии lgk. ЛФЧХ совпадает с осью абсцисс (рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 – ЛАЧХ и ЛФЧХ усилительного звена

1.2 Интегрирующее звено

Идеальным интегрирующим звеном называется звено, выходная величина которого пропорциональна интегралу входной величины

, (2.6)

где Т – постоянная времени.

Такие звенья называются интегрирующими. Примерами реальных элементов, эквивалентные схемы которых сводятся к интегрирующему звену являются6 электрический конденсатор, вращающийся вал, гидравлический резервуар, гидравлический усилитель и др.

Переходя к изображениям, получим

(2.7)

Передаточная функция звена

, (2.8)

На структурных схемах изображается (рисунок 2.5)   Рисунок 2.5 – Интегрирующее звено

Изображение выходной величины равняется , (2.9) тогда переходная функция интегрирующего звена (2.10) рисунок 2.6, а. Перейдём к частотным характеристикам, заменим р на jω ; ; , . (2.11) Частотный годограф и частотные характеристики интегрирующего звена показаны на рисунке 2.6,б и в,г. а) б) в) г) д)     Рисунок 2.6 – Переходная функция (а), годограф (б), частотные характеристики (в), ЛАЧХ и ЛФЧХ (г) интегрирующего звена   Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика L(ω)=lg|W(jω)| в функции lgω имеет вид прямой с наклоном -1 лог/дек. График логарифмической амплитудно-частотной характеристики L(ω) (рисунок 2.6,г) для интегрирующего звена пересекает ось абсцисс при . Логарифмическая фазо-частотная характеристика φ(ω) (рисунок 2.6,г) представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и отстоящую от неё на -90°.

На практике не существует реального элементе, в котором на выходе точно воспроизводилась бы производная от любого входного сигнала. Однако, составляя структурную схему системы, её можно так разделить на звенья, что введение понятия дифференцирующего звена будет вполне обосновано. В этом случае выходная величина х_ВЫХ(t) зависит от входной величины х_ВХ(t) как производная (идеальное дифференцирующее звено)

, (2.12)

Переходя к изображениям, получим

, (2.13)

Передаточная функция звена

, 2.14)

На структурных схемах изображается (рисунок 2.7)

Рисунок 2.7 – Дифференцирующее звено

Изображение выходной величины равняется

, (2.15)

тогда переходная функция равна

(2.16)

и представлена на рисунке 2.8, а.

Перейдём к частотным характеристикам, заменим р на jω. Комплексный коэффициент передачи

. (2.17)

Частотный годограф и частотные характеристики показаны на рисунке 2.8, б, в и г. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) имеет положительный наклон 1 лог/дек (рисунок 2.8,г). Логарифмическая фазо-частотная характеристика (ЛФЧХ) проходит параллельно оси абсцисс и отстоит от неё на 90° (рисунок 2.8, г).

а) б) в)

г)

Рисунок 2.8 – Переходная функция (а), годограф (б),

частотные характеристики (в), ЛАЧХ и ЛФЧХ (г) дифференцирующего звена

Запаздывающим звеном называется такое звено, связь между выходной и входной величиной которого определяется уравнением вида (Рисунок 2.9,а):

. (2.18)

Примером может служить устройство для измерения толщины полосы в прокатном стане (Рисунок 2.9). Толщина измеряется не в момент выхода металла из валков, а через время .

Рисунок 2.9 – Запаздывающее звено: график (а) и пример (б)

В операторной форме, используя понятие изображения, получим

.

Сделав замену t-τ=z, t=z τ, dt=dz, найдём интеграл

. (2.19)

Передаточная функция звена равна

. (2.20)

Комплексный коэффициент передачи равен

, (2.21)

отсюда ; ; ; L(ω)=0;

; .

Видно, что АФЧХ запаздывающего звена представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом равным 1 (Рисунок 2.10,а), ЛАЧХ звена частично запаздывающего есть прямая, совпадающая с осью абсцисс, а ЛФЧХ представляет собой логарифмическую кривую (Рисунок 2.10,в).

а) б)

Рисунок 2.10 – АФЧХ (а), ВЧХ и МЧХ (б), ЛАЧХ и ЛФЧХ (в)

запаздывающего звена

Звенья первого порядка

Реальные типовые динамические звенья

Реальные динамические звенья представляют собой соединения из элементарных звеньев.

Инерционным (апериодическим) звеном 1 – го порядка называется такое звено, связь между выходом и входом определяется линейным заданным уравнением первого порядка вида

, (2.22)

где Т – постоянная времени инерционного звена, обусловленная наличием

массы, момента инерции, индуктивности ёмкости и т.д.;

k – коэффициент усиления (или передачи).

При линеаризации уравнений и соответствующем упрощении математического описания примерами инерционных звеньев могут служить многие объекты: генераторы, двигатели, электрические печи, а также исполнительные механизмы, электронные усилители, проходные четырёхполюсники, содержащие индуктивности или ёмкости.

Применяя к (2.22) преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, получим операторное уравнение

, (2.23)

Передаточная функция инерционного звена первого порядка на основании (2.23) запишется как

, (2.24)

Решение уравнений (2.23) или (2.24) может быть представлено в виде

(2.25)

(рисунок 2.9, а).

а) б)

Рисунок 2.9 – Переходная функция (а) и изображение (б)

инерционного звена

Изображение инерционного звена на структурных схемах показано на рисунке 2.9,б.

Частотная функция звена первого порядка получается путём замены р на jω в выражении (2.24)

, (2.26)

или (2.27)

где

(2.28)

Частотный годограф и частотные характеристики инерционного звена рассчитаны в таблице 2.1 и показаны на рисунке 2.10,а и б,в . Таким образом, АФЧХ инерционного звена представляет собой полуокружность радиуса с центром окружности, отстоящим от начала координат на , и при изменении частоты от до вектор поворачивает на угол, равный .

Рисунок 2.10

Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика имеет вид

(2.29)

где

Точное построение L(ω) заключается в последовательном определении значений L(ω) при различных частотах ω (таблица 2.1 и рисунок 2.11). Построение ЛАХ обычно упрощают, заменяя точную L^’(ω) асимптотами. Первая асимптота характеризует при малых частотах, когда величиной ω²Т²можно пренебречь, т.е. принимают

(2.30)

Эта асимптота не зависит от частоты. Вторая асимптота характеризует при больших частотах, когда ω²Т² »1,

т.е. принимают

(2.31)

Эта асимптота зависит от частоты. Если принять приращение частоты на одну декаду (ω₂=10 ω₁), то амплитуда изменится на величину

Следовательно, для второй асимптоты известен наклон, характеризующий убывание амплитуды на 1 лог при возрастании частоты на 1дек (она проходит под углом -45° в том масштабе, который дан в п. 1.3). Точка сопряжения обеих асимптот будет удовлетворять равенствам (2.30) и (2.31)

откуда

Величина ω₀ определяется постоянной времени инерционного звена первого порядка и называется сопрягающей частотой.

Таблица 2.1

На основании изложенного можно сформулировать следующий порядок построения ЛАЧХ инерционного звена первого порядка, имеющего коэффициент усиления k: 1) определяется логарифм амплитуды частотной функции в логах; 2) рассчитывается сопрягающая частота в декадах; 3) через проводится горизонтальная прямая до точки сопрягающей частоты; 4) проводится прямая с наклоном -1 после точки сопрягающей частоты от конца горизонтального участка ЛАЧХ (рисунок 2.11). Максимальное отклонение асимптотической ЛАЧХ L₂ от действительной L₁ равно 0,15 лог при частоте ω₀ и незначительно при других частотах.

Рисунок 2.11 – ЛАЧХ и ЛФЧХ инерционного звена первого порядка

Логарифмическая фазо-частотная характеристика инерционного звена первого порядка

Для сопрягающей частоты фаза

Логарифмическую фазо-частотную характеристику целесообразно строить по шаблонам или по точкам относительно ординаты сопрягающей частоты (таблица 2.1).

Примерами инерционного звена первого порядка являются: пассивные четырёхполюсники, состоящие из сопротивления и индуктивности или из сопротивления и ёмкости; термопара, генераторы постоянного и переменного тока; электрические двигатели (если вход – ток якоря, а выход – угловая скорость) и т.д., если уравнения можно представить в виде (2.22).

Это звено, у которого связь между выходной и входной величиной определяется уравнением вида

, (2.32)

где Т – постоянная времени звена;

k – коэффициент усиления звена.

Такие звенья называются реальными дифференцирующими, или инерционно-дифференцирующими. Реальные дифференцирующие звенья применяются как средство корректирования переходных процессов, например, стабилизирующий трансформатор, дифференцирующие мостовые схемы и другое.

Применяя к (2.32) преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, получим операторное уравнение

. (2.33)

Переходная функция звена

. (2.34)

Переходная функция реального дифференцирующего звена, построенная по (2.34) при единичном ступенчатом воздействии, представляет собой экспоненциальную кривую (рисунок 2.12,а).

Рисунок 2.12 – Переходная функция (а) и изображение (б)

на структурных схемах реального дифференцирующего звена

Передаточная функция реального дифференцирующего звена на основании (2.33) запишется как

. (2.35)

Комплексный коэффициент передачи получается заменой p на jω в выражении (2.35):

, (2.36)

или , (2.37)

где

(2.38)

. (2.39)

Частотные характеристики показаны на рисунке 2.13, а…в.

Рисунок 2.13

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика

(2.40)

рассчитана по формуле (2.40) в таблице, аналогичной инерционному звену первого порядка, и представлена на рисунке 2.14

Рисунок 2.14 – ЛАЧХ и ЛФЧХ реального дифференцирующего звена

Асимптотическая характеристика состоит из двух полупрямых

Так же, как и в инерционных звеньях, поправка к асимптотической характеристике имеет вид кривой на рисунке 2.11, но с противоположным знаком.

Логарифмическая фазо-частотная характеристика реального дифференцирующего звена

Эта характеристика является характеристикой инерционного звена первого порядка, но приподнятой на 90° вдоль оси φ(ω).

2.1.3 Форсирующее звено 1 – го порядка

Звено, описываемое дифференциальным уравнением

(2.41)

называется форсирующим звеном. Такое звено получается в результате соединения пропорционального и дифференцирующего звеньев.

В уравнении (2.41) Т – постоянная времени, k – коэффициент усиления.

Применяя к (2.41) преобразование Лапласа при начальных нулевых условиях, получим операторное уравнение

(2.42)

Переходная функция звена

(2.43)

Передаточная функция форсирующего звена на основании (2.42) запишется как

(2.44)

Комплексный коэффициент передачи форсирующего звена получается путём замены p на jω в выражении (2.44):

(2.45)

или

(2.46)

где

(2.47)

Годограф W(jω) и частотные характеристики представлены на рисунке 2.15, а…в.

Рисунок 2.15

Логарифмическая амплитудно-фазовая характеристика

. (2.48)

Асимптотические характеристики состоят из двух полупрямых

(2.49)

Отсюда видно, прямая амплитудно-фазовая характеристика форсирующего звена аналогична инверсной характеристике инерционного звена первого порядка. Это, в свою очередь, отражается на точных логарифмических амплитудных и фазовых характеристиках (рисунок 2.15, г).

Так же, как и дифференцирующее звено, форсирующее звено в идеальном виде не может быть реализовано. В реальных форсирующих устройствах всегда имеются малые параметры, создающие инерционность; они характеризуются полиномом в знаменателе W(p), порядок которого выше, чем порядок числителя.

Это звено, у которого связь между выходным и входным сигналами выражается уравнением вида:

, (2.50)

где Т – постоянная времени;

k – коэффициент усиления.

Существенным параметром инерционно-форсирующего звена является коэффициент усиления. Если k<1, то звено по своим свойствам приближается к интегрирующему и инерционному звеньям. Если k>1, то звено ближе к дифференцирующему и инерционно-дифференцирующему звеньям.

Инерционно-форсирующее звено наряду с реальным дифференцирующим звеном применяется как средство для корректирования, улучшения переходных процессов.

Применяя к (2.50) преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, получим операторное уравнение

. (2.51)

Переходная функция звена

. (2.52)

Переходная характеристика инерционно-форсирующего звена построенная по (2.52) при единичном входном воздействии изображены на рисунке 2.16 при [k>1 – а); при k<1 – б)].

Рисунок 2.16 – Переходные характеристики а) ; б) и

изображение в) на структурных схемах

Передаточная функция инерционно-форсирующего звена на основании (2.51) запишется как

. (2.53)

Комплексный коэффициент передачи получится путём замены pна jω

, (2.54)

или

(2.55)

где

(2.56)

На рисунке 2.17 построены годографы W(jω) и частотные характеристики инерционно-форсирующего звена при k>1 (а,б,в) и k<1 (г,д,в).

Рисунок 2.17

Логарифмическая амплитудно-фазовая характеристика описывается уравнением

(2.58)

Асимптотические характеристики в зависимости от величины k выражаются различно:

если k>1

(2.59)

если k<1

(2.60)

Логарифмические амплитудно – и фазо-частотные характеристики инерционно-форсирующего звена изображены на рисунке 2.18 (а при k >1, б при k<1).

Рисунок 2.18

Непрерывных линейных систем

Структурные схемы, передаточные и частотные функции

Условная схема, представленная в виде динамических типовых звеньев, определённым образом соединённых между собой, называется структурной схемой системы. Структурная схема используется для расчёта динамики системы.

Типовое динамическое звено обозначается на структурной схеме условно в виде прямоугольника с указанием передаточной функции внутри него. Необходимость разветвления и суммирования при осуществлении обратных связей также требует определённого отображения на структурной схеме. При разветвлении сигнала предполагается, что к каждому звену поступает один и тот сигнал. Так как сигнал не обладает массой или энергией, то в месте разветвления он не делится; в этом месте на структурной схеме ставится точка. Суммирование сигналов обозначается кружком с указанием знака сигнала.

Структурную схему составляют на основании функциональной схемы, причём вначале определяют связи, по которым сигналы могут распространяться только в одном (прямом) направлении. Звенья при этом соединяют определённым образом, указывая стрелками направление распространения сигналов. Затем находят связи обратного прохождения сигналов и также наносят их на структурную схему. После этого в схему вводят возмущающие воздействия.

Соединения звеньев бывают трёх видов: последовательное, параллельное согласное и параллельное встречное. Рассмотрим каждый из видов соединения звеньев.

Это такое соединение, когда выходная переменная каждого предыдущего звена является входным воздействием для последующего звена (и только для него одного) (рисунок 3.1).

Рисунок – 3.1 Последовательное соединение

Так как для каждого звена

, (3.1)

то, составив такие уравнения для всех звеньев и исключив из них все промежуточные переменные, кроме входной величины и выходной величины , получаем

. (3.2)

Таким образом, передаточная функция системы последовательно соединённых звеньев

(3.3)

то есть равна произведению передаточных функций отдельных звеньев.

Выражение (3.3) справедливо и для обратных передаточных функций последовательно соединённых звеньев:

. (3.4)

Переходя к АФЧХ и подставляя p=jω, получим:

(3.5)

При этом модули комплексных коэффициентов перемножаются, а аргументы складываются

A(ω) = A₁(ω)·A₂(ω,)·…· А_n(ω),

φ(ω) = φ₁(ω) φ₂(ω) … φ_n(ω). (3.6)

При последовательном соединении звеньев логарифмические амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики отдельных звеньев складываются:

,

φ(ω) = φ₁(ω) φ₂(ω) … φ_n(ω). (3.7)

При последовательном соединении минимально-фазовых звеньев полученная система также будет минимально-фазовой, т.е. её передаточная функция не будет иметь ни нулей, ни полюсов в правой полуплоскости. Действительно, если каждый из сомножителей произведения (3.5) не имеет ни нулей, ни полюсов в правой полуплоскости р, то то же можно сказать и об их произведении. Аналогично можно показать, что если хотя бы одно из последовательно соединённых звеньев неминимально-фазовое или неустойчивое, то и вся система будет неминимальнофазовой или неустойчивой.