Определение понятия связей и их классификация в механике

Грузик между двигающимися плоскостями

Рассмотрим грузик, расположенный между двумя сцепленными плоскими поверхностями. Будем считать, что грузик является материальной точкой, а поверхности – абсолютно твердые и гладкие. Направим оси x и y неподвижной системы координат вдоль поверхности, ось z – перпендикулярно.

Тогда движение груза вдоль осей x и y является свободным. По оси z перемещение ограничено. Пусть поверхности, в свою очередь, движутся вдоль оси z по закону . Тогда уравнение связи для грузика имеет вид:(П4.1)   .

На этом примере проясним вопрос о возможных и виртуальных перемещениях системы. Возможное перемещение – это любое изменение координат системы, осуществляемые за конечный промежуток времени , при котором выполняются уравнения связей, наложенных на систему.

Пусть в первый момент времени точка имела координаты . Поскольку на нее наложена связь (П4.1), то .

Чтобы получить возможное перемещение точки, мы должны рассмотреть грузик в другой момент времени с любыми значениями координат .

Единственное условие, накладываемое на координаты – они должны удовлетворять уравнениям связей. В нашем случае – это уравнение (П4.1). Из него . Таким образом, возможным перемещением грузика является вектор с компонентами:.

Возможное перемещение содержит компоненту в направлении оси z: . Поскольку поверхности абсолютно гладкие, то сила реакции связи направлена вдоль оси z:

. Таким образом при возможном перемещении грузика, она совершит работу , даже если поверхности абсолютно гладкие.

Теперь рассмотрим виртуальное перемещение грузика. Единственное отличие от возможного перемещения состоит в том, что изменение координат системы относится к одному и тому же моменту времени. Тогда чтобы получить виртуальное перемещение точки, мы должны рассмотреть грузик с любыми новыми значениями координат , но в тот же самый момент времени .

Единственное условие, накладываемое на координаты системы заключается в том, что должны выполняться уравнения связей. В нашем случае это уравнение (П4.1). Из него находим:.Отсюда . Виртуальным перемещением грузика является вектор с компонентами:.

Использованная литература:А. П. Маркеев. Теоретическая механика. Редакция журнала «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевск 1999.

Жесткий стержень

Рассмотрим два маленьких, не взаимодействующих между собой, шарика A и B, которые будем считать материальными точками. Их положения в пространстве определяются координатами и в предварительно выбранной системе координат.

Теперь соединим их стержнем, длина которого в ненапряженном состоянии . В результате мы получим механическую систему, состоящую из двух материальных точек и стержня. Материал, из которого состоит стержень, обладает упругими свойствами.

При движении шарики могут двигаться с ускорением, что приведет к возникновению усилий в стержне, в результате которых он будет укорачиваться, удлиняться или изгибаться. Такая система является свободной, поскольку шарики могут иметь любые координаты.

Пусть стержень изготовлен из достаточно прочного материала, так что при движении системы, его длина изменяется на малую величину , не существенную для нашей задачи.

Тогда в первом приближении мы можем игнорировать изменение длины и возможный изгиб стержня, полагая, что он прямолинейный и его длина постоянна и равна l. То есть мы можем положить .

Математически это означает, что мы связываем координаты точек A и B уравнением:(П1)   .

Это уравнение является связью, которую мы наложили на систему. В результате она стала несвободной. Это двусторонняя геометрическая голономная стационарная связь. Применение связи позволило свести задачу к более простой. Но при этом мы исключаем из рассмотрения возможные деформации и колебания стержня.

Если один конец A стержня закреплен сферическим шарниром на неподвижном основании, то координаты точки A будут фиксированы. Они не смогут изменяться со временем. Если закрепленная точка A находится в начале координат, то к уравнению (П1) добавятся еще три уравнения связи:Связь – лезвие конька Положение конька, при наших ограничениях, полностью определяется четырьмя координатами . Из них – координаты его нижней точки C, соприкасающейся со льдом; – угол между направлением лезвия и осью X системы координат.Составим уравнения связей для конька. Будем считать, что конек прижат ко льду. Так что не происходит его отрыва в вертикальном направлении. Это приводит к уравнению связи(П3.1)   .Единичный вектор , направленный вдоль лезвия имеет следующие компоненты:.

Поскольку перемещение конька происходит вдоль его лезвия, то скорость направлена вдоль вектора :,где – модуль скорости.

Запишем это уравнение по компонентам:.Исключая модуль скорости, находим:;.

Наконец подставив , получим:(П3.2)   .

В это уравнение входят производные координат по времени. Поэтому это дифференциальная (или кинематическая) связь. Таким образом система связей при движении конька на плоскости описывается уравнениями (П3.1) и (П3.2).

Покажем, что связь (П3.2) неинтегрируемая. Предположим противное. Допустим, что она интегрируемая. Тогда с помощью эквивалентных преобразований, уравнение (П3.2) можно привести к виду(П3.3)   .Раскрываем производную..

Сравнивая с (П3.2) имеем:.

Здесь – функция от . Из последних двух уравнений заключаем, что f не зависит от и t.

То есть является функцией только от и :.

Тогда из первых двух уравнений находим:.Здесь левая часть не зависит от , а правая зависит.

Нахождение объекта равновесия и расстановка сил

Объектом равновесия называется точка, тело или система тел, рассматриваемых в равновесии при решении задачи.

Задача № 1

Невесомая стрела Рассмотреть объект равновесия – шарнир

Задача № 2

Невесомые стержни Рассмотреть объект равновесия – шарнир

Задача № 3

Балка Рассмотреть объект равновесия – балку

Задача № 4

Конструкция (рис.1.14) состоит из двух балок: балки

Рассмотреть объекты равновесия:

1. Балку 1. Объект равновесия – балка 2. Объект равновесия – балка

3. Объект равновесия – составная конструкция АВСD

Конструкция

Задача № 5

Невесомая балка

Рассмотреть объекты равновесия:

1. Невесомую балку 1. Объект равновесия невесомая балка 2. Объект равновесия – невесомая балка Балка 3. Объект равновесия – составная конструкция  Составная конструкция (рис.1.21) находится в равновесии под действием силы

Задача № 6

Горизонтальная плита Рассмотреть объект равновесия – плиту

Задача № 7

Вал Рассмотреть объект равновесия – вал

Услуги по теоретической механике:

1. Заказать теоретическую механику
2. Помощь по теоретической механике
3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

1. Статика
2. Система сходящихся сил
3. Момент силы
4. Пара сил
5. Произвольная система сил
6. Плоская произвольная система сил
7. Трение
8. Расчет ферм
9. Расчет усилий в стержнях фермы
10. Пространственная система сил
11. Произвольная пространственная система сил
12. Плоская система сходящихся сил
13. Пространственная система сходящихся сил
14. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
15. Естественный способ задания движения точки
16. Центр параллельных сил
17. Параллельные силы
18. Система произвольно расположенных сил
19. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
20. Кинематика
21. Кинематика твердого тела
22. Движения твердого тела
23. Динамика материальной точки
24. Динамика механической системы
25. Динамика плоского движения твердого тела
26. Динамика относительного движения материальной точки
27. Динамика твердого тела
28. Кинематика простейших движений твердого тела
29. Общее уравнение динамики
30. Работа и мощность силы
31. Обратная задача динамики
32. Поступательное и вращательное движение твердого тела
33. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
34. Сферическое движение твёрдого тела
35. Движение свободного твердого тела
36. Сложное движение твердого тела
37. Сложное движение точки
38. Плоское движение тела
39. Равновесие составной конструкции
40. Равновесие с учетом сил трения
41. Центр масс
42. Колебания материальной точки
43. Относительное движение материальной точки
44. Статические инварианты
45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
46. Динамика системы материальных точек
47. Общие теоремы динамики
48. Теорема об изменении кинетической энергии
49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
50. Потенциальное силовое поле
51. Метод кинетостатики
52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки

Принцип освобождаемости. связи и реакции связей

Как уже упоминалось в предыдущих статьях, статика изучает условия, при которых тела и материальные точки находятся в состоянии равновесия. Казалось бы, благодаря аксиомам статики, описывающим основные свойства силового взаимодействия между телами, решение задач равновесия тел не должно представлять трудностей – неизвестные силы можно найти, зная, что они должны уравновешиваться известными силами, отсюда и ключ к решению.
(модули), но и направление в пространстве, а также точки приложения. В результате получается, что каждая неизвестная сила содержит три вопроса: куда она направлена, где приложена, и какова ее величина?

Исключить некоторые неизвестные составляющие сил помогает анализ связей между телами. Как мы уже знаем, все тела и материальные точки подразделяются на свободные и связанные (несвободные). В статике чаще всего приходится решать задачи, в которых рассматривается условие равновесия связанных тел, т. е. имеющих некоторые (или полные) ограничения на перемещение в пространстве относительно других тел. Эти ограничения называются связями.

Примерами связей, ограничивающих перемещение тела, может послужить поверхность или какая-либо опора, на которой лежит тело, жесткая заделка части тела в массив, исключающая любое его перемещение, а также гибкие и шарнирные связи, частично ограничивающие возможность тела перемещаться в пространстве.

Анализ таких связей позволяет понять, какие силовые факторы возникают в них при противодействии перемещению связанного тела. Эти силовые факторы называют силами реакции или реакциями связей (обычно их называют просто реакциями).

Силы, которыми тело воздействует (давит) на связи называют силами давления. Следует отметить, что силы реакций и давлений приложены к различным телам, поэтому не представляют собой систему сил.

Силы, действующие на любое тело можно разделить на активные и реактивные. Активные силы стремятся перемещать тело, к которому они приложены, в пространстве, а реактивные силы – препятствуют этому перемещению.

Силы реакции связей относятся к реактивным силам. Принципиальное отличие активных сил от реактивных заключается в том, что величина реактивных сил зависит от величины активных сил, но не наоборот. Активные силы часто называют нагрузками.

При решении большинства задач статики несвободное тело условно изображают как свободное с помощью так называемого принципа освобождаемости, который формулируется следующим образом: всякое несвободное (связанное) тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их реакциями.

***